Tempo di lettura: 5 minuti
4.5
(2)

Spiegazione del Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes è uno dei principi fondamentali di tutta la teoria della probabilità.

Thomas Bayes, nel diciottesimo secolo, ha infatti enunciato la formula matematica per determinare la probabilità condizionata: la probabilità di un evento che si verifichi, in base al verificarsi di un risultato precedente.

Detto così può sembrare più difficile di quanto sia nella realtà: eppure viene usato più di quanto immaginiamo.

Può addirittura aiutarci in alcuni giochi a premi, come vedremo più avanti nell’articolo (mai sentito parlare del gioco delle 3 carte o delle 3 porte?)

Prima di esplicitare la formula alla base di questo teorema proviamo a fare qualche esempio pratico. Questo teorema, infatti, è applicato in molti ambiti: dal medicale, al poker oltre che agli investimenti.

L’esempio classico che viene utilizzato per spiegare il teorema di Bayes è il test per una malattia.

Ipotizziamo di aver fatto un test per una malattia, un test come il tampone per il COVID. Ipotizziamo che il COVID colpisca una persona su 100 e che l’accuratezza del test sia del 5%.

Se è il test dovesse risultare positivo che probabilità avrei di NON aver contratto il Coronavirus?

Probabilità di essere positivo a una malattia

La risposta che molti darebbero senza fermarsi a pensare potrebbe essere: il 5%.

Però, facendo due conti, sappiamo che questa malattia secondo le nostre ipotesi colpisce solo 1 persona su 100. Ciò significa che su 10 mila persone solo 100 hanno contratto il virus.

Se i 100 che hanno contratto la malattia fossero testati, data l’accuratezza del test al 95%, 95 risulterebbero positivi e 5 negativi.

Se testassimo i 9900 negativi, invece, sempre a causa dell’accuratezza del test avremo 495 falsi positivi e 9405 negativi.

Sul totale dei 10 mila testati avremo quindi 590 (495 + 95) positivi al test: 95 realmente positivi e 495 falsi positivi.

La probabilità quindi che io sia realmente positivo quindi sarà del: 95/590 = 16.1%. Probabilità ben più alta dell’accuratezza del test (5%).

Alla base di tutto ciò c’è appunto il Teorema di Bayes

Teorema di Bayes
Formula del Teorema di Bayes

dove:

  • P(A)= Probabilità che accada l’evento A
  • P(B)= Probabilità che accada l’evento B
  • P(AB)=Probabilità che accada A dato B
  • P(BA)= Probabilità che accada B dato A
  • P(AB))= Probabilità che accadano sia A che B

Questo era solo uno dei più classici esempi. Grazie a Investopedia possiamo vedere come è possibile applicare tale teorema ai mercati finanziari.

Teorema di Bayes nei mercati finanziari

L’esempio di Investopedia riguarda i tassi di interesse e come questi potrebbero impattare il mercato azionario. Molti studi sono stati fatti a tal proposito e molti dati sono disponibili in letteratura. L’esempio in particolare utilizza i dati della tabella in basso.

Teorema di bayes  nei mercati finanziari
Teorema di Bayes nei mercati finanziari

Come potrebbe influire un cambio dei tassi di interesse sull’indice preso in considerazione?

Avremo quindi (se vi annoiano i calcoli, saltate al risultato!):

  • P(SI) = probabilità che l’indice azionario aumenti
  • P(SD) = probabilità che l’indice azionario diminuisca
  • P(ID) = probabilità che i tassi di interesse diminuiscano
  • P(II) = probabilità che i tassi di interesse aumentino

Applicando l’equazione vista prima avremo che:

P(SD | II) = [P(SD) x ( P ( II | SD )] / P ( II ) )

Quindi

P(SD | II) = [(1150/2000) x (950/1150)] / (1000 / 2000) = 95% circa

La probabilità che l’indice azionario diminuisca nel caso in esempio, dato un aumento dei tassi di interesse, è di circa il 95%.

Calcolo analogo si potrebbe fare per il caso opposto: impatto della diminuzione dei tassi di interesse sull’andamento dell’indice azionario.

Un altro dato interessante che può essere ricavato dalla tabella è che l’indice ha avuto un calo 1150 volte su 2000 osservazioni: il 57.5% delle volte.

Secondo i dati dell’esempio avremo quindi che la probabilità che l’indice azionario subisca un calo sono del 57.5%. Se a questa probabilità aggiungessimo anche l’informazione che i tassi di interesse aumentino la probabilità sale dal 57.5% al 95%.

Il Paradosso di Monty Hall

Un’altra interessante applicazione del Teorema di Bayes è quella legata al paradosso di Monty Hall.

Per alcuni aspetti questo tipo di paradosso può essere simile al dilemma del prigioniero.

Il nome del paradosso di Monty Hall nasce dal gioco a premi americano Let’s Make a Deal il cui conduttore, Maurice Halprin, era noto con lo pseudonimo proprio di Monty Hall.

Il gioco è abbastanza semplice. Il concorrente ha 3 porte davanti:

  • dietro 2 porte ci sono 2 capre
  • dietro 1 porta c’è un’automobile.

Al concorrente viene fatta scegliere una porta.
A quel punto il conduttore, che sa dov’è l’auto, fa aprire un’altra porta dove è presente una delle due capre.

Paradosso di Monty Hall
Paradosso di Monty Hall

Il concorrente quindi ha la possibilità di scegliere: mantenere la porta che aveva scelto o cambiarla?

Qual è la scelta migliore da fare?

Molti sbagliano pensando che il concorrente a questo punto ha il 50% di possibilità di indovinare la porta dietro la quale si cela l’auto.
In realtà le possibilità aumentano se il giocatore sceglie di cambiare porta. Non ci credete?

Ecco perchè: si creano i seguenti scenari

  • Il giocatore inizialmente sceglie la porta con dietro la capra 1. Il conduttore fa aprire la porta con la capra numero 2. Cambiando porta il giocatore vince
  • Lo stesso giocatore sceglie la porta con dietro la capra 2. Il conduttore fa aprire la porta con la capra numero 1. Cambiando porta il giocatore vince
  • Infine, il giocatore sceglie la porta con dietro l’auto. Il conduttore fa aprire una qualsiasi porta con dietro la capra 1 o 2. Cambiando la porta il giocatore vince una capra

Quello che succede è che il giocatore inizialmente aveva il 33% di possibilità di trovare l’auto. Il fatto che il conduttore gli sveli il contenuto di un’altra porta non cambia le probabilità iniziali, non stiamo cambiando gioco. Il gioco sta continuando con le stesse probabilità iniziali.

Teorema di Bayes - Soluzione Paradosso di Monty Hall
Soluzione Paradosso di Monty Hall

Come visto, il giocatore per sfruttare in pieno la nuova informazione che gli viene data deve cambiare porta: in questo modo è come se gli fosse data la possibilità di scegliere 2 carte su 3. Le sue probabilità di vincita raddoppiano passando dal 33% al 66%.

Questo paradosso può essere risolto numericamente con Teorema di Bayes come visto in precedenza.

In conclusione

Questo semplice teorema è applicato in molti casi quotidiani.

Dal calcolo probabilistico per decidere quale sia la migliore scelta da fare in una partita di Poker alla diagnosi di una malattia.

Oltre a questi casi, molti modelli finanziari usano questo modello in forme più complesse per le previsioni degli andamenti dei mercati. Uno su tutti: il modello Black e Litterman per l’allocazione ottima di titoli.

Quanto ti è piaciuto il post?

Francesco Barba

Ingegnere e sommelier, fiero sorrentino appassionato di finanza personale e ottime bottiglie. Scrivo di finanza personale e risparmio sul blog di cui sono co-founder guidaglinvestimenti.it

Lascia un commento